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Der Virialsatz
Der Virialsatz regelt das Verhältnis von kinetischer zu
potentieller Energie in einem stationären physikalischen System, zum
Beispiel in einem Planetensystem oder in einem Elektron-Protonsystem oder in der Wärmelehre in einem System im thermischen Gleichgewicht. Er
betrachtet gemittelte Werte, sogenannte Erwartungswerte.[1] ( In spitzen Klammern ).
Abbildung 1: Zum Virialsatz: Energieerwartungswerte als Funktion des
Grades s der homogenen Potentialfunktion oder die Vorzeichen der
kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie, bei auf Eins normierter
Gesamtenergie. Die kinetische Energie ist positiv definit.
Die Grafik oben bezeichnet die Vereinigung von Energiesatz und Virialsatz. Für den Coulombfall oder Gravitation ( s = -1 ) kann man Clausius' Originalarbeit nachlesen. Es ist ein mechanischer Satz, der in der Thermodynamik eingeführt wurde. Clausius leistete Grundlegendes. Man kann ihn als Programm für wichtige Fälle in der gesamten Physik sehen. Die Aussage über Mittelwerte ist nicht so streng wie Konstanten, aber sie legt Verhältnisse fest. Man benötigt nicht die Kenntnis von Bahnen.
Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa daß im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder daß ein thermisches Gleichgewicht herrscht. ( Quelle Wikipedia ).
Diese Vorausetzung heißt genau, daß die Kräfte aus einer vom Grad s homogenen Potentialfunktion herzuleiten sind. Der Virialsatz verwendet den Ausdruck "über beliebig lange
Zeiträume", der aus einem Integral stammt, das über
Grenzen integriert wird, die bis Unendlich ( t → ∞ ) reichen und somit eine anfängliche Abweichung der Ausgangslage vom Mittelwert beliebig klein wird. ( Oder periodische Systeme, die nicht entarten. ) Ein System, das verschiedene Volumina ( Ausdehnung, Abmessung ) einnimmt, hat auch verschiedene Werte der kinetischen und potentiellen Energien. Bei Übergängen sind die Unterschiede durch Energieabgaben beziehungsweise - aufnahmen herzustellen ( Licht, Emission, Absorption, Planetengeschwindigkeit, -abstände ). Es ist ein physikalisches Modell, weshalb obiger Ausdruck
Irritation hervorrufen kann, da die Physik keine Geschichte kennt.
Rezension III
Als Rezensent des Buches von Heinrich Wulff, Physik unter Verwendung des Virialsatzes,
faße ich [2] die Kernpunkte zusammen. Der Virialsatz ist
ein mechanischer Satz, der seit 150 Jahren bei Theoriebildungen nicht
beachtet wird. Bei Sommerfeld kann man eingangs lesen, daß die Arbeit
bis auf eine Konstante, die Integrationskonstante, bestimmt sei, weil
die theoretische Physik eine Integrationstheorie ist. Ich lese aus
solchen Stellen, auch bei Joos, eine Skepsis und Ungläubigkeit heraus,
ob das stimmen kann, die Alten sind bei ihrer Theoriebildung vorsichtig
vorgegangen und haben auf dieser „Freiheit“ keine Theorien aufgebaut.
Anders deren Schüler oder allgemein die Folgegeneration, das schließt
Heisenberg und seine „Berater“ mit ein.
Im Nachwort des Buches kann gelesen werden, daß bei Hinzfügung einer
Konstanten zur potentiellen Energie, die Gesamtenergie trivialerweise
dieselbe Konstante addiert bekommt, aber die Verhältnisse im Virialsatz,
potentielle Energie zu kinetischer, können dann nicht erhalten werden,
sie ändern sich.
Während das Verhältnis aus dem Virialsatz ( der Grad s ist je nach Kraftgesetz unterschiedlich siehe Abb. 1, das lineare hat bspw. s = 2, Coulomb, Gravitation s = -1 ) $$\frac {\langle E_{kin}\rangle}{\langle E_{pot}\rangle} = \frac {s}{2}$$ Mit C ≠ 0 $$\frac {\langle E_{kin}\rangle}{\langle E_{pot}\rangle}\not= \frac {\langle E_{kin}\rangle}{\langle E_{pot}\rangle + C}$$ unbestimmt bleibt.
Warum ist das wichtig? Teilchen, die sich energetisch nicht an den
Viralsatz halten, also deren Energiesatz nicht mit den Verhältnissen im
Virialsatz übereinstimmt, können nicht in einem System mit einem
Kraftgesetz gebunden sein, genauer stationär sein, sich dauerhaft dort
aufhalten. Ein Gas kann sich in verschiedenen Zuständen befinden. Was
passiert, wenn ein Gas auf Festkörperdichte komprimiert wird, wird es
dann fest? Nein, wenn dem Viralsatz dazu nicht genüge getan wird und
beispielsweise die kinetische Energie für ein passendes Verhältnis zur
potentiellen Energie zu groß ist. Um aus Gas etwas Festes zum machen,
müßte kinetische Energie abgeführt werden. Dabei ist wichtig
festzustellen, ob die Verhältnisse Bindungen zulassen oder nicht. Auch
Elektronen in einem Metall bewegen sich frei, wenn Spannung angelegt
wird, sind sie aber deshalb in dem System des Metallstücks energetisch
frei, nein, sie sind es nicht. Leitend heißt also gebunden, aber nicht
an ein einzelnes Atom im Metall gebunden. Die Kerne stehen so dicht im
Metallgitter, daß die Elektronen daran gestreut werden.
Man kann bei einem Gas feststellen, wann es ionisiert wird, und ein
reales Gas mit beiden Zuständen gebunden und ionisiert, wenn der
energetische Grenzzustand bekannt ist, in einer Formel beschreiben, was
den Vorteil hat, daß man über den gesamten Bereich der
thermodynamischen Variablen integrieren kann.
Es ist nicht schwierig, den Virialsatz von Anfang an einzuführen und zu beachten.
Clausius hat seinen Satz in der kinetischen Gastheorie, die später zur
statistischen Thermodynamik wird, angewendet. Planck hat sie
weiterentwickelt und die Hohlraumstrahlung untersucht. Die Thermodynamik
kennt bewegte Massenpunkte[3],
ist somit mechanisch, aber die Gesetze der Mechanik können dort nicht
eins zu eins übernommen werden, weil vieles dort nicht reversibel ist und Bahnen im allgemeinen nicht berechenbar sind.
Andere Modelle werden entworfen, die nicht allein mechanisch sind,
deswegen kommt Clausius´ Satz als mechanischer nicht zur Geltung.
Andererseits strahlt der Hohlraumstrahler Licht(-wellen ) aus, das behandelt
geschlossen die Maxwellsche Theorie, sie muß herangezogen werden, in
ihr gibt es keine Massen ( und somit keine kinetische Energie ), nur Potentialfelder. Nun ist die Thermodynamik
inhomogen in der Theorie, vielbemüht ist das Modell des idealen Gases
in dem alle Teilchen frei sind und unabhängig voneinander, in realen
Gasen kommt die van der Waalsgleichung zum Tragen, die ein Problem hat,
und unklar scheinen die entarteten Zustände zu sein, die Gase
beschreiben, die dichter als Festkörperdichte gepackt sind, und bei denen die
Elektronen als frei ( , was sie
nach Wulff nicht sind, ) angesehen werden, damit sie leiten können; es stellt sich die Frage, wenn leitende
Elektronen im Metall frei sind, was beschränkt sie auf das Volumen des
Metalls?[4] Die van der
Waalsgleichung geht an ihren Rändern in die Beschreibungen des idealen
Gases und des entarteten Zustands über, sie beschreibt dort
entgegengesetzt wie die Zustände es erwarten lassen, und eine
Verbesserung diese Fehlers ist nicht gelungen. Deshalb setzt der Ansatz
von Wulff, anscheinend schwierig, in der ( im Ansatz eigenwilligen ) Thermodynamik an,
und räumt mit alten Vorstellungen auf, entwirft neue Modelle und
kritisiert theoretische Ansätze, die seit langem gültig zu sein
scheinen. Auch die Kompression von Metallen ist der Beschreibung
entarteter Zustände bei Gasen geschuldet, sowie die Austrittsarbeit von
Elektronen, mit der Frage einhergeht, wann sie frei sind, und bei
welchen Energien sie das schaffen. Der Virialsatz entscheidet, ob das
entstehende Gebilde stabil sein kann.
Der Autor kam auf dieses Thema, bei der Plasmadiagnostik und -spektroskopie, wegen der Einschränkung, daß Atome und
Ion und Elektron sich für das Massenwirkungsgesetz und die Bestimmung
der Entropiekonstanten im Zustand des idealen Gases befinden müßten und
der Weitläufigkeit aller Arten der Herleitung der Entropiekonstanten,
da freie Teilchen und gebundene Teilchen gesondert abgezählt und
mittels des Massenwirkungsgesetzes verbunden wurden. Wulff legte schon 1974 eine vielbeachtete gemeinsame Abzählung
vor, die dem Buch angehängt ist, sowie deren Erweiterung zu einer
Verteilungsfunktion. Diese Abzählung wurde von Prof. Sauter bestätigt
und deren Herleitung abgekürzt.
Prof. Sauters Kritik am Begriff äußeres Virial ist unbegründet, die Begriffsbildung findet sich in Clausius´ Originalarbeit.
Der Virialsatz gibt Verhältnisse von Energien, die jeweilige Proportionalität von kinetischer und potentieller Energie, an, die von verschiedenen
Werten angenommen werden können und für verschiedene Kraftgesetze
verschieden sind, da sich dort die Vorstellungen von Potentialen
unterscheiden. Wenn man die Gravitation in Erdnähe beispielsweise als
linear betrachtet, hat sie ein anderes Potential als die Gravitation mit
dem reziproken Abstandsgesetz für größere Abstände. ( Potentiale und kinetische Energie sind nicht in allen Theorien erklärt! )
Der Autor vergleicht das im Buch im Einzelfall mit der vorhanden
theoretischen Literatur und vergleicht es mit aktuellen Messwerten.
Er zieht verschiedene heran, damit man die Veränderung der Genauigkeit
der Messwerte im Laufe der Zeit mitbeachten kann.
Da die Arbeit mit Plasmen für die Fusion und deren Beobachtung mittels
Spektralanalyse geschieht, nützen die Vorschläge des Autors in der
Physik der Sternatmosphären, dem Fachgebiet seines Physikprofessors
Unsöld, und bieten Erklärungsansätze für Rotverschiebung und Pulsare,
Quasare, Doppelsterne, weiße Zwerge und Anderes.
Weiter lassen sich seine Vorschläge zu einer neuen Beurteilung der
Festkörperphysik benutzen, der Kompression von Metallen, der Supraleitung, der Halbeleitertechnik, da
sich ein neuer Ansatz der Erklärung der Leitfähigkeit, ein anderer als
die Löcherleitung, ergibt.
Quasitheoretische Modelle wie die Diracsche Theorie, daß wir in einem Meer von Positronen „schwimmen“[5], sind trotz modellhafter Möglichkeit, als zu kompliziert und an den Haaren herbeigezogen zu beurteilen.[6]
Der Autor erwähnte mir gegenüber noch die Aussicht auf eine Lösung des
Dreikörperproblems. Die Relativitätstheorie erscheint nicht ( Ich habe dazu nur handschriftliche Rechenskizzen ). Er hat
seinen Ansatz Heisenberg ( vermutlich Oktober 75 ) kurz vor dessen Tod
vorgestellt, der erschüttert schien, da damit die ganze „einheitliche“
Quantenfeldtheorie hinfällig würde, worauf Heisenberg nicht mehr
eingegangen ist. Nach Aufzeichnungen zu Gesprächen, die ich hier
gefunden hatte, hat sich der Autor mindestens ein Jahr lang am Institut um
ein Gespräch bemüht, als es dann zustande kam, notierte er, daß
Heisenberg in den besprochenen Arbeiten keine Fehler entdecken konnte.
Sicherlich hat Heisenberg sie aber nicht in extenso nachvollzogen, da
sich der Autor aber schon zu dieser Zeit seiner Entdeckung bewußt war,
hat er die Konsequenzen Heisenberg sicherlich erläutert. Das 1977er
Manuskript unten belegt die Eigenschaft des Autors Formeln an experimentellen Daten zu prüfen. Die Idee kam dem Autor, wie er selbst
in der Summary schreibt, wegen der seltsamen Herleitung der
Entropiekonstanten und wegen Beschränkungen auf Zustände idealer Gase.
Allerdings war das nicht für jeden Beteiligten so offensichtlich.[7]
Fortsetzung
Das Massenwirkungsgesetz wird im Buch hergeleitet, und für die Reaktion
Ion und Elektron ist gleich Atom benutzt, welches Reaktionsgleichgewicht
innerhalb der Gase aufgesucht wird.
Der Autor nähert sich angewandt dem Thema. Ich bin soweit informiert, daß der Autor mit seiner Verteilungsfunktion
bei der Interpretation der Sternspektren genauer war als alle
bisherigen Methoden. Diese Anwendung ist durch die Übereinstimmung mit
Messwerten untermauert.
Glücklicherweise habe ich jetzt eine Arbeit von 1977 zusammen mit den Programmierer Joachim Steuerwald
Calculations of the stellar structure of so-called degenerate stars using a new pressure function: Auf dem edoc Server.
gefunden, in der die Radien und Massen von Pulsaren ( hohe Dichte ), Doppelsternen ( unsichtbarer Anteil ) bis zu weißen Zwergen ( geringe Dichte ) berechnet werden, und die tatsächlichen Größen annehmen.
Abb. 2: Massen und Radien von Sternen mit He und Fe bei normierter Zentraldichte
Somit
stimmt diese neue Theorie mit der Existenz der Sterne überein und macht
sie auch theoretisch möglich. Das wird mit Fermis Ansatz verglichen, bei
dem nicht die wirklichen Werte herauskommen, ja die Sterne theoretisch
gar nicht möglich sind. Da es sich um sogenannte degenerierte ( entartete ) Sterne handelt, wird
nur der zweite Anteil der Verteilungsfunktion ( für Energien ) berechnet
worden sein. Die Verteilungsfunktion wird angewandt auf Plasmen, die
zusätzlich schwere Elemente enthalten, zusätzlich zu Protonen und
Elektronen, und dafür erweitert. Ausgangspunkt ist die einfache
hydrostatische ( Druck-)Gleichung.
Als Anhang geben sie eine computerberechnete Liste der Massen und Radien
von Wasserstoffsternen mit Anteilen von Helium und Eisen in
verschiedenen prozentualen Mischungen an. Helium läuft in Einprozentschritten von 0 bis 14% und
jeweils Eisen dazu von 0 bis 9%. Weiter weist er, natürlich mit Formel,
auf die Schockwellen von Pulsaren hin, die sich
aus seiner Rechnung ergeben und mit den tatsächlichen Frequenzen
übereinstimmen, sowie die Veränderung der Radien bei Abkühlung, für die
Erde ist das ein Ansatz zur Kontinentaldrift und einiges mehr.[8]
- Eine Werteliste
- Quellcode für http://www.onlinecompiler.net/fortran ( Bitte die bei Fortran üblichen acht Einrückungen herstellen! )
Weitere Themen im Laufe der Zeit in der: Arbeitsgruppe. Darunter viele hier erwähnte Aufsätze.
Die Methode Ionisationsenergien der Alkalimetalle
zu bestimmen kann erstaunlicherweise auf Erdalkalien und die dritte
Periode erweitert werden, mit kleinen Korrekturen, kann man den gesamten
Bereich der Metalle abdecken und zu den Ionisationsenergien der
Nichtleiter übergehen. Die dahinterstehenden Begriffe werden
herausgearbeitet, damit sich der Leser überzeugt, daß deren spätere
theoretische Untersuchung im Buch begründet ist und die Bestätigung mit
neuen Ergebnissen für die Physik sinnvoll und überfällig ist. Dafür ist aus der Geschichte
der Thermodynamik die Beschreibung ihres gegenwärtigen Begriffszustands gedacht.
Diese angewandte Methode zieht als unausgesprochen wichtigsten Begriff
zuerst die Dichte heran. Welche Begriffe zur Erweiterung nötig
werden, erklärt sich schrittweise.
Da die Verbesserungen begründet werden müssen, nimmt sich der Autor der dazu nötigen Begriffe an. Die Austrittsarbeit
verallgemeinert die Ionisationsenergie dafür, daß das Elektron aus
einem Festkörper abgelöst wird, was weniger Energie benötigt als im Einzelatom. Die
ursprünglichen Arbeiten behandeln Dichten oberhalb der Festkörperdichte,
dennoch sind diese Plasmen nicht gebunden, weil sie nach dem Virialsatz
für ein stationäres System zu viel Energie enthalten, das Verhältnis
von kinetischer und potentieller Energie ein stationäres System nicht
zuläßt.
Die Dichte wird im weiteren Verlauf wichtig. Die DeBrogliewellenlänge
steht für den Abstand eines Elektrons vom Kern. Wird noch die Dichte
herangezogen zeigt sich, ob sich die Elektronenbahnen überlappen, also
die Kerne so dicht stehen, wie in den Metallen, daß sich ein Elektron nah
genug an zwei Kernen aufhält, so daß es Bestandteil je des einen
oder anderen Kerns sein könnte. Die Leitfähigkeit ist dann als Streuung
an diesen dichtstehenden Gitterkernen zu interpretieren.
Nach dieser Klärung der Begriffe beginnt mittels des Virialsatzes die
Erörterung, was als freies Teilchen und was als gebundenes angesehen
werden muß. Das wird mit der Aussicht auf eine axiomatische Grundlegung
in die Thermodynamik eingebracht, die an entscheidenden Stellen, mit
einem konkreten Vorschlag zur Entropie, neu erläutert und vorgerechnet wird. Das ist im Buch
nachzulesen.
Die Formeln sind in den 1974er Arbeiten vorgestellt worden und dort noch
nicht abschließend, jedoch im Buch, für alle Aggregatzustände
durchgesehen worden. Daß die Entropie keine „große Zahl“ oder ein
Erwartungswert ist, liegt daran, daß sie sich aus Zuständen gebundener
Teilchen und freier Teilchen zusammensetzt.
Als Ergänzung ergibt sich aus den Problemen die geklärt wurden die Möglichkeit einen in der Quantenmechanik
„mehrdeutigen“ Übergang, der deswegen für nicht möglich gehalten wird,
von kartesischen zu Polarkoordinaten eindeutig durchzuführen. Der Autor
führt dies exemplarisch vor, um zu zeigen, wie es für andere
Koordinaten geschehen muß.
Der thermodynamische Kreisprozess, die Möglichkeit einer adiabatischen
Änderung, muß zukünftig eingebunden werden. Die Energien werden in der
Thermodynamik anders angewendet. Verschiedene Zustände haben gleiche
thermische Energie, was allein mechanisch nicht möglich ist.
Die Austrittsarbeit der Elektronen hängt mit deren Potenial zusammen, welches geklärt sein muß.
Es gibt einen Zusammenhang zwischen Atomabstand und Leitfähigkeit im
Festkörper, der nicht zwingend ist. Deshalb wird die DeBroglie
Wellenlänge bestimmt, und mit den Atomabständen in Relation gesetzt.
Die Anhänge sind die Vorarbeiten, eine gemeinsame Abzählung gebundener und freier Zustände,
was den Vorteil einer durchgängigen Integrationsvariablen bietet, und
die Bildung einer Größe ganz anderer Art für die bisher
„Wahrscheinlichkeit W“ oder „große Zahl W“ genannten Begriffe, daraus
zur weiteren Verwendung in der Thermodynamik. Das Buch behandelt das
Thema Virialsatz jenseits der Thermodynamik durch die ganze Physik.
Ich hoffe das Interesse soweit zu fesseln, daß sich der Leser über die
zugehörige Physik mittels des Buches anhand der hergeleiteten Formeln
ein Bild machen und die Beweise nachzuvollziehen will.
Die Kenntnis einer Theorie der Leitfähigkeit, ist für die
Halbleitertechnik interessant, die Kenntnis über Energieverhältnisse,
für Kraftanlagen und erneuerbare Energien.
Summary
Physics Using the Virial Theoremby H. Wulff
A theory of condensed matter which is not based on the
conventional energy of free, so-called degenerate particles is applied
to the condensed elements of the periodic system. This yields laws
relating the electron energy of the single atoms and the density of the
condensate which allow conclusions regarding the electrical conductivity and the chemical valence. Application is also made to the problem of the work function of the electrons ( Austrittsarbeit ). Finally the theory reverts to its thermodynamic origin . In this context a new general pressure function based on the virial theorem
is given. This function can be used, in particular, to calculate the
compressibility of metals as well as the characteristics of stars,
especially of dense stars. The pressure function calls for determination of the entropy function .
Übersetzung:
Zusammenfassung
von H. Wulff
Eine Theorie kondensierter Materie, die nicht auf der herkömmlichen
Energie freier, sogenannter degenerierter ( = entarteter ) Teilchen
basiert, wird auf die kondensierten Elemente des periodischen Systems
angewandt. Daraus leiten sich Gesetze ab, die die Elektronenergie
einzelner Atome und die Dichte des Kondensats in Beziehung bringen, was
Folgerungen bezüglich der elektrischen Leitfähigkeit und der chemischen
Wertigkeit erlaubt. Das wird auch auf das Problem der Austrittsarbeit
der Elektronen ( work function ) angewendet. Schließlich kehrt die Theorie
zu ihrem thermodynamischen Ursprung zurück. In diesem Zusammenhang wird
eine auf den Virialsatz gegründete neue allgemeine Druckfunktion
angegeben. Diese Funktion kann insbesondere verwendet werden, um die
Kompressibilität von Metallen, sowie die Eigenschaften von Sternen,
besonders diejenigen dichter Sterne zu berechnen. Die Druckfunktion
fordert die Bestimmung der Entropiefunktion.
Hints to strange translation:
print = pressure
fused = condensed
summer field = Arnold Sommerfeld
Änderung: 2021-01-29