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Der Virialsatz

Der Virialsatz regelt das Verhältnis von kinetischer zu potentieller Energie in einem stationären physikalischen System, zum Beispiel in einem Planetensystem oder in einem Elektron-Protonsystem oder in der Wärmelehre in einem System im thermischen Gleichgewicht. Er betrachtet gemittelte Werte, sogenannte Erwartungswerte. 1 (In spitzen Klammern).

Abbildung 1: Zum Virialsatz: Energieerwartungswerte als Funktion des Grades s der homogenen Potentialfunktion oder die Vorzeichen der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie, bei auf Eins normierter Gesamtenergie. Die kinetische Energie ist positiv definit.

Die Grafik oben bezeichnet die Vereinigung von Energiesatz und Virialsatz. Für den Coulombfall kann man Clausius' Originalarbeit nachlesen. Es ist ein mechanischer Satz, der in der Thermodynamik eingeführt wurde. Clausius leistete Grundlegendes. Man kann ihn als Programm für wichtige Fälle in der gesamten Physik sehen. Die Aussage über Mittelwerte ist nicht so streng wie Konstanten, aber sie legt Verhältnisse fest. Man benötigt nicht die Kenntnis von Bahnen.

Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa daß im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder daß ein thermisches Gleichgewicht herrscht. (Quelle Wikipedia).

Diese Vorausetzung heißt genau, daß die Kräfte aus einer vom Grad s homogenen Potentialfunktion herzuleiten sind. Der Virialsatz verwendet den Ausdruck "über beliebig lange Zeiträume", der aus einem Integral stammt, das über Grenzen integriert wird, die bis Unendlich reichen und somit eine anfängliche Abweichung der Ausgangslage vom Mittelwert beliebig klein wird. Ein System, das verschiedene Volumina (Ausdehnung, Abmessung) einnimmt, hat auch verschiedene Werte der kinetischen und potentiellen Energien. Bei Übergängen sind die Unterschiede durch Energieabgaben beziehungsweise - aufnahmen herzustellen (Licht, Emission, Absorption). Es ist ein physikalisches Modell, weshalb obiger Ausdruck Irritation hervorrufen kann, da die Physik keine Geschichte kennt.

Rezension III

Als Rezensent des Buches von Heinrich Wulff, Physik unter Verwendung des Virialsatzes, faße ich2 die Kernpunkte zusammen. Der Virialsatz ist ein mechanischer Satz, der seit 150 Jahren bei Theoriebildungen nicht beachtet wird. Bei Sommerfeld kann man eingangs lesen, daß die Arbeit bis auf eine Konstante, die Integrationskonstante, bestimmt sei, weil die theoretische Physik eine Integrationstheorie ist. Ich lese aus solchen Stellen, auch bei Joos, eine Skepsis und Ungläubigkeit heraus, ob das stimmen kann, die Alten sind bei ihrer Theoriebildung vorsichtig vorgegangen und haben auf dieser „Freiheit“ keine Theorien aufgebaut. Anders deren Schüler oder allgemein die Folgegeneration, das schließt Heisenberg und seine „Berater“ mit ein.

Im Nachwort des Buches kann gelesen werden, daß bei Hinzfügung einer Konstanten zur potentiellen Energie, die Gesamtenergie trivialerweise dieselbe Konstante addiert bekommt, aber die Verhältnisse im Virialsatz, potentielle Energie zu kinetischer, können dann nicht erhalten werden, sie ändern sich.

Warum ist das wichtig? Teilchen, die sich energetisch nicht an den Viralsatz halten, also deren Energiesatz nicht mit den Verhältnissen im Virialsatz übereinstimmt, können nicht in einem System mit einem Kraftgesetz gebunden sein, genauer stationär sein, sich dauerhaft dort aufhalten. Ein Gas kann sich in verschiedenen Zuständen befinden. Was passiert, wenn ein Gas auf Festkörperdichte komprimiert wird, wird es dann fest? Nein, wenn dem Viralsatz dazu nicht genüge getan wird und beispielsweise die kinetische Energie für ein passendes Verhältnis zur potentiellen Energie zu groß ist. Um aus Gas etwas Festes zum machen, müßte kinetische Energie abgeführt werden. Dabei ist wichtig festzustellen, ob die Verhältnisse Bindungen zulassen oder nicht. Auch Elektronen in einem Metall bewegen sich frei, wenn Spannung angelegt wird, sind sie aber deshalb in dem System des Metallstücks energetisch frei, nein, sie sind es nicht. Leitend heißt also gebunden, aber nicht an ein einzelnes Atom im Metall gebunden. Die Kerne stehen so dicht im Metallgitter, daß die Elektronen daran gestreut werden.

Man kann bei einem Gas feststellen, wann es ionisiert wird, und ein reales Gas mit beiden Zuständen gebunden und ionisiert, wenn der energetische Grenzzustand bekannt ist, in einer Formel beschreiben, was den Vorteil hat, daß man über den gesamten Bereich der thermodynamischen Variablen integrieren kann.

Es ist nicht schwierig, den Virialsatz von Anfang an einzuführen und zu beachten.

Clausius hat seinen Satz in der kinetischen Gastheorie, die später zur statistischen Thermodynamik wird, angewendet. Planck hat sie weiterentwickelt und die Hohlraumstrahlung untersucht. Die Thermodynamik kennt bewegte Massenpunkte3, ist somit mechanisch, aber die Gesetze der Mechanik können dort nicht eins zu eins übernommen werden, weil vieles dort nicht reversibel ist und Bahnen im allgemeinen nicht berechenbar sind. Andere Modelle werden entworfen, die nicht allein mechanisch sind, deswegen kommt Clausius´ Satz als mechanischer nicht zur Geltung. Andererseits strahlt der Hohlraumstrahler Licht(-wellen) aus, das behandelt geschlossen die Maxwellsche Theorie, sie muß herangezogen werden, in ihr gibt es keine Massen, nur Potentialfelder. Nun ist die Thermodynamik inhomogen in der Theorie, vielbemüht ist das Modell des idealen Gases in dem alle Teilchen frei sind und unabhängig voneinander, in realen Gasen kommt die van der Waalsgleichung zum Tragen, die ein Problem hat, und unklar scheinen die entarteten Zustände zu sein, die Gase beschreiben, die dichter als Festkörperdichte gepackt sind, und bei denen die Elektronen als frei angesehen werden, damit sie leiten können, was sie nach Wulff nicht sind, es stellt sich die Frage, wenn leitende Elektronen im Metall frei sind, was beschränkt sie auf das Volumen des Metalls?4 Die van der Waalsgleichung geht an ihren Rändern in die Beschreibungen des idealen Gases und des entarteten Zustands über, sie beschreibt dort entgegengesetzt wie die Zustände es erwarten lassen, und eine Verbesserung diese Fehlers ist nicht gelungen. Deshalb setzt der Ansatz von Wulff, anscheinend schwierig, in der (im Ansatz eigenwilligen) Thermodynamik an, und räumt mit alten Vorstellungen auf, entwirft neue Modelle und kritisiert theoretische Ansätze, die seit langem gültig zu sein scheinen. Auch die Kompression von Metallen ist der Beschreibung entarteter Zustände bei Gasen geschuldet, sowie die Austrittsarbeit von Elektronen, mit der Frage einhergeht, wann sie frei sind, und bei welchen Energien sie das schaffen. Der Virialsatz entscheidet, ob des entstehende Gebilde stabil sein kann.

Der Autor kam auf dieses Thema wegen der Einschränkung, daß Atome und Ion und Elektron sich für das Massenwirkungsgesetz und die Bestimmung der Entropiekonstanten im Zustand des idealen Gases befinden müßten und der Weitläufigkeit aller Arten der Herleitung der Entropiekonstanten, da freie Teilchen und gebundene Teilchen gesondert abgezählt und mittels des Massenwirkungsgesetzes verbunden wurden. Wulff legte schon 1974 eine vielbeachtete gemeinsame Abzählung vor, die dem Buch angehängt ist, sowie deren Erweiterung zu einer Verteilungsfunktion. Diese Abzählung wurde von Prof. Sauter bestätigt und deren Herleitung abgekürzt.

Prof. Sauters Kritik am Begriff äußeres Virial ist unbegründet, die Begriffsbildung findet sich in Clausius´ Originalarbeit.

Der Virialsatz gibt Verhältnisse von Energien an, die von verschiedenen Werten angenommen werden können und für verschiedene Kraftgesetze verschieden sind, da sich dort die Vorstellungen von Potentialen unterscheiden. Wenn man die Gravitation in Erdnähe beispielsweise als linear betrachtet, hat sie ein anderes Potential als die Gravitation mit dem reziproken Abstandsgesetz für größere Abstände.

Der Autor vergleicht das im Buch im Einzelfall mit der vorhanden theoretischen Literatur und vergleicht es mit aktuellen Messwerten. Er zieht verschiedene heran, damit man die Veränderung der Genauigkeit der Messwerte im Laufe der Zeit mitbeachten kann.

Da die Arbeit mit Plasmen für die Fusion und deren Beobachtung mittels Spektralanalyse geschieht, nützen die Vorschläge des Autors in der Physik der Sternatmosphären, dem Fachgebiet seines Physikprofessors Unsöld, und bieten Erklärungsansätze für Rotverschiebung und Pulsare, Quasare, Doppelsterne, weiße Zwerge und Anderes.

Weiter lassen sich seine Vorschläge zu einer neuen Beurteilung der Festkörperphysik benutzen, der Supraleitung, der Halbeleitertechnik, da sich ein neuer Ansatz der Erklärung der Leitfähigkeit, ein anderer als die Löcherleitung, ergibt.

Quasitheoretische Modelle wie die Diracsche Theorie, daß wir in einem Meer von Positronen „schwimmen“5, sind trotz modellhafter Möglichkeit, als zu kompliziert und an den Haaren herbeigezogen zu beurteilen6.

Der Autor erwähnte mir gegenüber noch die Aussicht auf eine Lösung des Dreikörperproblems. Die Relativitätstheorie erscheint nicht (Ich habe dazu nur handschriftliche Rechenskizzen). Er hat seinen Ansatz Heisenberg (vermutlich Oktober 75) kurz vor dessen Tod vorgestellt, der erschüttert schien, da damit die ganze „einheitliche“ Quantenfeldtheorie hinfällig würde, worauf Heisenberg nicht mehr eingegangen ist. Nach Aufzeichnungen zu Gesprächen, die ich hier gefunden hatte, hat sich der Autor mindestens ein Jahr lang am Institut um ein Gespräch bemüht, als es dann zustande kam, notierte er, daß Heisenberg in den besprochenen Arbeiten keine Fehler entdecken konnte. Sicherlich hat Heisenberg sie aber nicht in extenso nachvollzogen, da sich der Autor aber schon zu dieser Zeit seiner Entdeckung bewußt war, hat er die Konsequenzen Heisenberg sicherlich erläutert. Das 1977er Manuskript unten belegt die Eigenschaft des Autors Formeln an experimentellen Daten zu prüfen. Die Idee kam dem Autor, wie er selbst in der Summary schreibt, wegen der seltsamen Herleitung der Entropiekonstanten und wegen Beschränkungen auf Zustände idealer Gase. Allerdings war das nicht für jeden Beteiligten so offensichtlich.7

Fortsetzung

Das Massenwirkungsgesetz wird im Buch hergeleitet, und für die Reaktion Ion und Elektron ist gleich Atom benutzt, welches Reaktionsgleichgewicht innerhalb der Gase aufgesucht wird.

Der Autor nähert sich angewandt dem Thema. Ich bin soweit informiert, daß der Autor mit seiner Verteilungsfunktion bei der Interpretation der Sternspektren genauer war als alle bisherigen Methoden. Diese Anwendung ist durch die Übereinstimmung mit Messwerten untermauert.

Glücklicherweise habe ich jetzt eine Arbeit von 1977 zusammen mit den Programmierer Joachim Steuerwald

Calculations of the stellar structure of so-called degenerate stars using a new pressure function

gefunden, in der die Radien und Massen von Pulsaren (hohe Dichte), Doppelsternen (unsichtbarer Anteil) bis zu weißen Zwergen (geringe Dichte) berechnet werden, und die tatsächlichen Größen annehmen.

Abb. 2: Massen und Radien von Sternen mit He und Fe bei normierter Zentraldichte

Somit stimmt diese neue Theorie mit der Existenz der Sterne überein und macht sie auch theoretisch möglich. Das wird mit Fermis Ansatz verglichen, bei dem nicht die wirklichen Werte herauskommen, ja die Sterne theoretisch gar nicht möglich sind. Da es sich um sogenannte degenerierte (entartete) Sterne handelt, wird nur der zweite Anteil der Verteilungsfunktion (für Energien) berechnet worden sein. Die Verteilungsfunktion wird angewandt auf Plasmen, die zusätzlich schwere Elemente enthalten, zusätzlich zu Protonen und Elektronen, und dafür erweitert. Ausgangspunkt ist die einfache hydrostatische (Druck-)Gleichung.

Als Anhang geben sie eine computerberechnete Liste der Massen und Radien von Wasserstoffsternen mit Anteilen von Helium und Eisen in verschiedenen prozentualen Mischungen an. Helium läuft in Einprozentschritten von 0 bis 14% und jeweils Eisen dazu von 0 bis 9%. Weiter weist er, natürlich mit Formel, auf die Schockwellen von Pulsaren hin, die sich aus seiner Rechnung ergeben und mit den tatsächlichen Frequenzen übereinstimmen, sowie die Veränderung der Radien bei Abkühlung, für die Erde ist das ein Ansatz zur Kontinentaldrift und einiges mehr.8

Weitere Themen im Laufe der Zeit in der: Arbeitsgruppe. Darunter viele hier erwähnte Aufsätze.

Die Methode Ionisationsenergien der Alkalimetalle zu bestimmen kann erstaunlicherweise auf Erdalkalien und die dritte Periode erweitert werden, mit kleinen Korrekturen, kann man den gesamten Bereich der Metalle abdecken und zu den Ionisationsenergien der Nichtleiter übergehen. Die dahinterstehenden Begriffe werden herausgearbeitet, damit sich der Leser überzeugt, daß deren spätere theoretische Untersuchung im Buch begründet ist und die Bestätigung mit neuen Ergebnissen für die Physik sinnvoll und überfällig ist. Dafür ist aus der Geschichte der Thermodynamik die Beschreibung ihres gegenwärtigen Begriffszustands gedacht.

Diese angewandte Methode zieht als unausgesprochen wichtigsten Begriff zuerst die Dichte heran. Welche Begriffe zur Erweiterung nötig werden, erklärt sich schrittweise.

Da die Verbesserungen begründet werden müssen, nimmt sich der Autor der dazu nötigen Begriffe an. Die Austrittsarbeit verallgemeinert die Ionisationsenergie dafür, daß das Elektron aus einem Festkörper abgelöst wird, was weniger Energie benötigt als im Einzelatom. Die ursprünglichen Arbeiten behandeln Dichten oberhalb der Festkörperdichte, dennoch sind diese Plasmen nicht gebunden, weil sie nach dem Virialsatz für ein stationäres System zu viel Energie enthalten, das Verhältnis von kinetischer und potentieller Energie ein stationäres System nicht zuläßt.

Die Dichte wird im weiteren Verlauf wichtig. Die DeBrogliewellenlänge steht für den Abstand eines Elektrons vom Kern. Wird noch die Dichte herangezogen zeigt sich, ob sich die Elektronenbahnen überlappen, also die Kerne so dicht stehen, wie in den Metallen, daß sich ein Elektron nah genug an zwei Kernen aufhält, so daß es Bestandteil je des einen oder anderen Kerns sein könnte. Die Leitfähigkeit ist dann als Streuung an diesen dichtstehenden Gitterkernen zu interpretieren.

Nach dieser Klärung der Begriffe beginnt mittels des Virialsatzes die Erörterung, was als freies Teilchen und was als gebundenes angesehen werden muß. Das wird mit der Aussicht auf eine axiomatische Grundlegung in die Thermodynamik eingebracht, die an entscheidenden Stellen, mit einem konkreten Vorschlag zur Entropie, neu erläutert und vorgerechnet wird. Das ist im Buch nachzulesen.

Die Formeln sind in den 1974er Arbeiten vorgestellt worden und dort noch nicht abschließend, jedoch im Buch, für alle Aggregatzustände durchgesehen worden. Daß die Entropie keine „große Zahl“ oder ein Erwartungswert ist, liegt daran, daß sie sich aus Zuständen gebundener Teilchen und freier Teilchen zusammensetzt.

Als Ergänzung ergibt sich aus den Problemen die geklärt wurden die Möglichkeit einen in der Quantenmechanik „mehrdeutigen“ Übergang, der deswegen für nicht möglich gehalten wird, von kartesischen zu Polarkoordinaten eindeutig durchzuführen. Der Autor führt dies exemplarisch vor, um zu zeigen, wie es für andere Koordinaten geschehen muß.

Der thermodynamische Kreisprozess, die Möglichkeit einer adiabatischen Änderung, muß zukünftig eingebunden werden. Die Energien werden in der Thermodynamik anders angewendet. Verschiedene Zustände haben gleiche thermische Energie, was allein mechanisch nicht möglich ist.

Die Austrittsarbeit der Elektronen hängt mit deren Potenial zusammen, welches geklärt sein muß.

Es gibt einen Zusammenhang zwischen Atomabstand und Leitfähigkeit im Festkörper, der nicht zwingend ist. Deshalb wird die DeBroglie Wellenlänge bestimmt, und mit den Atomabständen in Relation gesetzt.

Die Anhänge sind die Vorarbeiten, eine gemeinsame Abzählung gebundener und freier Zustände, was den Vorteil einer durchgängigen Integrationsvariablen bietet, und die Bildung einer Größe ganz anderer Art für die bisher „Wahrscheinlichkeit W“ oder „große Zahl W“ genannten Begriffe, daraus zur weiteren Verwendung in der Thermodynamik. Das Buch behandelt das Thema Virialsatz jenseits der Thermodynamik durch die ganze Physik.

Ich hoffe das Interesse soweit zu fesseln, daß sich der Leser über die zugehörige Physik mittels des Buches anhand der hergeleiteten Formeln ein Bild machen und die Beweise nachzuvollziehen will.

Die Kenntnis einer Theorie der Leitfähigkeit, ist für die Halbleitertechnik interessant, die Kenntnis über Energieverhältnisse, für Kraftanlagen und erneuerbare Energien.

Stand 17.09.13

Summary

Physics Using the Virial Theorem

by H. Wulff

A theory of condensed matter which is not based on the conventional energy of free, so-called degenerate particles is applied to the condensed elements of the periodic system. This yields laws relating the electron energy of the single atoms and the density of the condensate which allow conclusions regarding the electrical conductivity and the chemical valence. Application is also made to the problem of the work function of the electrons (Austrittsarbeit) . Finally the theory reverts to its thermodynamic origin . In this context a new general pressure function based on the virial theorem is given. This function can be used, in particular, to calculate the compressibility of metals as well as the characteristics of stars, especially of dense stars. The pressure function calls for determination of the entropy function .

Übersetzung:

Zusammenfassung

von H. Wulff

Eine Theorie kondensierter Materie, die nicht auf der herkömmlichen Energie freier, sogenannter degenerierter (= entarteter) Teilchen basiert, wird auf die kondensierten Elemente des periodischen Systems angewandt. Daraus leiten sich Gesetze ab, die die Elektronenergie einzelner Atome und die Dichte des Kondensats in Beziehung bringen, was Folgerungen bezüglich der elektrischen Leitfähigkeit und der chemischen Wertigkeit erlaubt. Das wird auch auf das Problem der Austrittsarbeit der Elektronen (work function) angewendet. Schließlich kehrt die Theorie zu ihrem thermodynamischen Ursprung zurück. In diesem Zusammenhang wird eine auf den Virialsatz gegründete neue allgemeine Druckfunktion angegeben. Diese Funktion kann insbesondere verwendet werden, um die Kompressibilität von Metallen, sowie die Eigenschaften von Sternen, besonders diejenigen dichter Sterne zu berechnen. Die Druckfunktion fordert die Bestimmung der Entropiefunktion.


1. Er wird seit 1927 über beliebig lange Zeiträume verletzt. Kleiner Scherz.
2. als Dilettant.
3. siehe das Billardspiel bei Sommerfeld.
4. Traving G., Über die Theorie der Druckverbreiterung von Spektrallinien S. 99/100, gibt zwei gängige Modelle an.
5. nach DeBroglie Licht und Materie.
6. Chimären.
7. Die Aufzeichnungen drehten sich um die Gestaltung des Vorworts, das ich lektorierte, das aber in dieser Form nicht übernommen wurde.
8. Die Arbeit wird bald auf dem Edoc-server der Max Planck Gesellschaft verfügbar sein, bei Interesse hier eine Kopie dazu.

Hints to strange translation:
print = pressure
fused = condensed
summer field = Arnold Sommerfeld

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Änderung: 2015-12-29