[Mirror](http://roomsixhu.bplaced.net/anaqua.html#) [Mirror2](http://roomsixhu.bplaced.net/virialsatz/Stream%20in%20Google+/Vergleich_von_klassischer_und_Quantenmechanik_====.html) # Vergleich von klassischer und Quantenmechanik ## ZUSAMMENFASSUNG In der üblichen Behandlung entarteter Elektronen hängt deren kinetische Energie von der Elektronendichte ne mit ne 2/3, ihre potentielle Energie mit ne 1/3 ab. Die Elektronen werden dabei als freie Teilchen behandelt. Der Virialsatz hingegen erfordert Proportionalität der beiden Energien. Dieser Widerspruch wird von den Grundlagen zunächst der klassischen Quantentheorie und sodann der Quantenmechanik her entwickelt. Der Gegenstand der vorliegenden Arbeit wurde im Rahmen einer statistischen Untersuchung erstmals 1976 behandelt (1) A Joint Statistical Count of Free- and Bound-Electron States of a System of Electrons and Protons Il Nuovo Cimento Vol. 31 B N. 1 (1976) (2) On the Electron Energy Distribution in Proton Electron Plasmas with Densities Above Solid State Density Il Nuovo Cimento Vol. 31 B, N. 1 (1976) # Einleitung und Übersicht In der klassischen Punktmechanik wird ein durch eine Hamiltonfunktion vorgelegtes Problem auf eine "Gleichgewichtsbewegung" zu transformieren gesucht, womit die Integration der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen und damit die Bestimmung der Bahngleichung geleistet wäre. Dazu geeignete Transformationsgleichungen werden aus den sie "erzeugenden Funktionen" abgeleitet. Diese haben die Dimension einer Wirkung. Sie erhalten als "Wirkungsfunktion" in der klassischen Quantentheorie eine über ihre Rolle bei der Transformation hinausgehende Bedeutung durch die Quantenbedingung, welche vorschreibt, ihre als Phasenintegrale oder Periodizitätsmoduln bezeichneten Teilwerte einem ganzen Vielfachen des Planckschen Wirkungsquantums gleichzusetzen. Diese Vorschrift hat mittelbar die Auswahl diskreter Energiewerte aus dem Kontinuum der klassischen Werte zur Folge, wie es die Empirie verlangt. Die ausgewählten Energiewerte sind wie die übrigen allein durch die Hamiltonfunktion bestimmt. Zwischen potentieller und kinetischer Energie besteht eine Virialsatz genannte Proportionalität. Dieser Satz wird am Beispiel des Keplerproblems verifiziert und als allgemeiner Satz der klassischen Mechanik für ein System aus Protonen und Elektronen formuliert. Im Rahmen der klassischen Quantentheorie ist der Virialsatz allgemein nicht formulierbar, weil eine allgemeine Formulierung der Quantenbedingung nicht möglich ist. Die sogenannte Entartungsenergie quantenmechanischer Systeme wird auf der Grundlage einer unspezifischen Wirkungsfunktion berechnet, in die das Pauliverbot eingegangen ist. Sie ist unspezifisch, weil zu ihrer Herleitung außer auf die Teilchenmasse m, auf das Volumen V und die Gesamtteilchenzahl N auf keinerlei Eigenschaft des Systems mehr Bezug genommen wird. Diese Wirkungsfunktion ist also nicht als erzeugende Funktion durch Lösung eines durch die Hamiltonfunktion definierten Problems entstanden. Vielmehr ist die Angabe einer Hamiltonfunktion überflüssig. Daher kann die Frage, welche Kräfte die Bewegungsenergie verursachen, keine Antwort finden. Dieser Umstand wird ermöglicht, weil das Pauliprinzip weder Bestandteil der klassischen Quantentheorie noch der Quantenmechanik ist. Im Rahmen der Quantenmechanik sind die Quantenbedingungen allgemein formulierbar; sie treten als Axiom in Gestalt der Heisenbergschen Vertauschungsrelationen auf, deren klassische Analoga die Poissonklammern sind. Wie diese sind sie Invarianten der Theorie gegenüber kanonischen Transformationen. [^1 Dafür wird mittels des hamiltonschen Prinzips der Zusammenhang mit einem Variationsproblem hergestellt.] Umgekehrt charakterisieren die Vertauschungsrelationen wie die Poissonklammern die kanonischen Transformationen, nämlich als unitäre Transformationen. Mit solchen ist ein vorgelegtes Problem wie in der klassischen Mechanik auf ein Gleichgewichtsproblem, d.h. der Hamiltonoperator auf Hauptachsen zu transformieren. Diese Forderung stellt das zweite Axiom dar. In spezieller Weise wird es zugleich mit den Vertauschungsrelationen erfüllt durch die Bestimmung der Schrödingerschen Wellenfunktionen. Diese bauen als Spaltenvektoren im Hilbertraum die unitäre Matrix auf ; sie sind die Erzeugenden der Kanonischen Transformation. Aufgrund der von der Lösung eines vorgelegten Problems unabhängigen Formulierung der Quantenbedingung ist, anders als in der alten Quantentheorie, der Virialsatz allgemein formulierbar wie die Sätze über den Schwerpunkt, Impuls und Drehimpuls auch. Im Kontext der Quantenmechanik leitet sich die Entartungsenergie allein aus dem ersten Axiom, den Vertauschungsrelationen, und dem Pauliprinzip ab. Wiederum wird der das Problem beschreibende Hamiltonoperator außer acht gelassen. Die im Vorstehenden skizzierten Zusammenhänge werden im Folgenden soweit präzisiert, daß gezeigt werden kann, wie sich die Theorie der Entartung in die axiomatisch begründete Physik einfügt respektive zu ihr im Widerspruch steht. ### Translation sketch A (fairly extensive) comparison of classical and quantum mechanics written Monday 20 March 2017 SUMMARY --------------- In the normal treatment of degenerate electrons their kinetic energy depends of the electron density \\(n_e\\) with \\(n_e^{2/3}\\), their potential energy with \\(n_e^{1/3}\\). The electrons are treated as free particles. The virial theorem, on the other hand, requires the proportionality of the two energies. This contradiction is revisited ~~developed~~ from the basis of the classical quantum theory and then quantum mechanics. [gimmick: math]() The subject of the present work was first examined in a statistical study in 1976 (1) A Joint Statistical Count of Free- and Bound-Electron States of a System of Electrons and Protons Il Nuovo Cimento Vol. 31 B N. 1 (1976) (2) On the Electron Energy Distribution in Proton Electron Plasmas with Densities Above Solid State Density Il Nuovo Cimento Vol. 31 B, N. 1 (1976) Introduction and overview ========= In classical point mechanics, a problem presented by a Hamiltonian function is sought to be transformed into a "equilibrium movement", thus integrating the Hamiltonian motion equations and thus determining the path equation. Appropriate transformation equations are derived from the "generating functions" (Erzeugende Funktion). These have the dimension of an action ~~effect~~. In the classical quantum theory, they obtain, as a "function of action", a meaning beyond their role in the transformation by the quantum condition which prescribes equating their partial values, designated as phase integrals or periodicity moduli, to an entire multiple of Planck's quantum of action. This prescription indirectly entails the selection of discrete energy values ​​from the continuum of classical values, as empiricism demands. The selected energy values, like the others, are determined solely by the Hamilton function. Between potential and kinetic energy there is a proportionality referred to as virial theorem. This theorem is verified by the example of the Kepler problem and formulated as a general theorem of classical mechanics for a system of protons and electrons. Within the framework of classical quantum theory, the virial theorem is generally not formulated because a general formulation of the quantum condition is not possible. The so-called degenerative energy of quantum mechanical systems is calculated on the basis of a nonspecific action ~~effect~~ function, into which the Pauli exclusion principle ~~interdiction (law)~~ has been applied. It is unspecific, since no reference is made to any property of the system, except for the particle mass m, the volume V, and the total particle number N. This function of action has thus not been produced as a generating (Erzeugende) function by solving a problem defined by the Hamilton function. Rather, the specification of a Hamilton function is superfluous. Therefore, the question of which forces cause the energy of motion can not find an answer. This fact is made possible by the fact that the Pauli principle is neither part of classical quantum theory nor of quantum mechanics. Within quantum mechanics, the quantum conditions are generally formulated; They occur as an axiom in the form of the Heisenbergian uncertainty priciple ( a commutator) ~~interchange relations~~, the classical analogues of which are the Poisson brackets ~~clamps~~. Like these, they are invariants of the theory toward ~~versus~~ canonical transformations. [^2: The Hamilton Principle draws a connection to a variational problem, to obtain them. ] Conversely, the commutation relations, such as the Poisson brackets, characterize the canonical transformations, as unitary transformations. With such transformatons a provided problem as in classical mechanics is a problem of equilibrium, i.e. the Hamilton operator is to be transformed on major axes. This requirement represents the second axiom. In a special way it is simultaneously fulfilled by the commutation ~~interchange~~ relations by ~~the~~ determination of the Schrödinger Wave functions. These form the unitary matrix as column vectors in Hilbert space; They are the generating functions (Erzeugende) of the canonical transformation. As the formulation of the quantum condition is independent of the solution of a given problem, unlike in the old quantum theory, this allows the virial theorem being formulated generally as the theorem ~~sentences about~~ of the center of gravity, impulse, and angular momentum. In the context of quantum mechanics, the degeneracy energy is derived from the first axiom, the commutation relations, and the Paulip principle. Again, the Hamilton operator describing the problem is disregarded. The contexts outlined above ~~are~~ so far ~~detailed and~~ will be precised following that it will be shown how the theory of degeneracy is integrated into the axiomatically grounded physics or rather shows up in contradiction to it. Corrigated sketch by Google Übersetzer ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Simeon_Poisson.jpg) > Created with [Zim-wiki](http://zim-wiki.org/) & the [Ecodiv-responsive template](https://github.com/ecodiv/Ecodiv-responsive) > Geschrieben mit [StackEdit](https://stackedit.io/).