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## Beispiel Substitution (trivial)

Beispiel \\(x^4\\) direkt.

$$ {d (x^4) \over dx} = (x^4)' = 4x^3
$$

Substitution: \\( z = x^2 \\) indirekt

$$ {d x^4 \over d (x^2)} \cdot { d (x^2) 
\over d x}$$

einsetzen \\(x^4 = z^2\\) und \\(x^2=z\\)

$$ {d z^2 \over d z} \cdot { d z 
\over d x}$$
vorne lösen ( \\((z^2)' = 2 z \\) )

$$ 2 z \cdot { d z \over d x} $$
2\. Teil lösen. Aus z wieder \\(x^2\\) machen s.o. Für beide z!

$$ 2 x^2 \cdot { d x^2 \over d x} \overset{hinten\,}{ \overset {
lösen}{=}} 2 x^2 \cdot (x^2)' =  $$

$$ = 2 x^2 \cdot 2 x =  2 \cdot 2 \cdot x^2\cdot x = 4 x^3$$

Aderer Weg, selbes Ergebnis wie oben.

Hilft manchmal / oft!

### Quelle 1

![](mfr_fls/IMG_6454n.JPG)

dasselbe in zwei Teilen größer


![](mfr_fls/IMG_6455.JPG)
![](mfr_fls/IMG_6456.JPG)


## Beispiel partielle oder Produktintegration (trivial)

Agenommen ich konnte \\(x^3\\) nicht intehrieren, will aber \\(4x^3\\) integrieren.  
Ich kann nur x zu \\( {1 \over 2} x^2 \\) integrieren, dann schreibe ich um:

$$ 4 x^2 \cdot x .$$
Damit gehe ich in die partielle oder Produktintegration:

$$ f (x) g (x) = \smallint g (x) f'(x) dx + \smallint f (x) g'(x) dx $$
oder 

(1) \\(\label {(1)}\\).... (umstellen)

Dann setzte ich (, und da hatte ich mich verhauen,):

$$ f (x ) = 4 x^2 \; ; \; g'(x ) = x $$

ich habe oben gesagt,x könne ich integrieren

$$ g (x) = \tfrac{1 }{ 2} x^2 $$
Daß setze ich in (1) ein.

$$ \smallint 4x^2 \cdot x dx = 4 x^2 \cdot \tfrac{1 }{ 2} x^2 - \smallint \small{{1 \over 2}} x^2 f'(x) dx $$

une fasse zusammen ....

....
bringe ich auf die andere Seite
....

$$\smallint 4x^2\cdot x dx = \underline {x^4}= \smallint 4 x^3 dx. $$

Habe ich irgendwo \\( x^3\\) integriert, was ich gar nicht kann? q.e.d.

Hier die Formel schön sauber mit Grenzen damit wir nicht auf Constanten achten.

![](mfr_fls/IMG_20251024_131528_530.jpg)	

## Quelle 2
![](mfr_fls/IMG_6457.JPG)
![](mfr_fls/IMG_6458.JPG)
![](mfr_fls/IMG_6459.JPG)




[//]: # "[IMG] 2025-10-24 13:19	31K"   
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### Dunkles Archiv


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![](mfr_fls/IMG_20251024_131520_448.jpg)	
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![](mfr_fls/IMG_20251024_131523_376.jpg)	
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